纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是一种生活比较松散的数据形态。它有某些节点(vertice),在某些节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也跳出过,让我们歌词 歌词 让我们歌词 歌词 通常在节点中储存数据。边表示另另有一一六个节点之间的居于关系。在树中,让我们歌词 歌词 让我们歌词 歌词 用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是一种生活特殊的图,但限制性更强某些。

如果 的一种生活数据形态是很常见的。比如计算机网络,如果 由某些节点(计算机肯能路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也还需用理解为图,地铁站还需用认为是节点。基于图有某些经典的算法,比如求图中另另有一一六个节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥哪几个的问题(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市含晒 十根河流过,河含晒 另另有一一六个小岛。有七座桥桥连接河的两岸和另另有一一六个小岛。送信员总想知道,有没办法 另另有一一六个辦法 ,能不重复的走过7个桥呢?

(什儿 哪几个的问题在某些奥数教材中称为"一笔画"哪几个的问题)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的还需用看作由7个边和另另有一一六个节点构成的另另有一一六个图:

什儿 哪几个的问题最终被欧拉巧妙的处置。七桥哪几个的问题也启发了一门新的数学好科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,肯能某个节点全部都不 起点肯能终点,没办法 连接它的边的数目需用为偶数个(从另另有一一六个桥进入,再从如果 桥背叛)。对于柯尼斯堡的七桥,肯能另另有一一六个节点都为奇数个桥,而最多只能有另另有一一六个节点为起点和终点,如果 不肯能一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。另另有一一六个图的所有节点构成另另有一一六个集合[$V$]。另另有一一六个边还需用表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即另另有一一六个节点。肯能[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,没办法 图是有向的(directed)。有序的边还需用理解为单行道,只能沿另另有一一六个方向行进。肯能[$(v_1, v_2)$]无序,没办法 图是无向的(undirected)。无序的边还需用理解成双向都还需用行进的道路。另另有一一六个无序的边还需用看作连接相同节点的另另有一一六个反向的有序边,如果 无向图还需用理解为有向图的一种生活特殊状况。

(七桥哪几个的问题中的图是无向的。城市中的公交线路还需用是无向的,比如居于单向环线)

图的另另有一一六个路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也如果 说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为另另有一一六个节点。路径顶端的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,让我们歌词 歌词 让我们歌词 歌词 会在挑选某个路径,来从A站到达B站。如果 的路径肯能有不止十根,让我们歌词 歌词 让我们歌词 歌词 往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤状况,来挑选十根最佳的路线。肯能居于十根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,没办法 认为该图中居于环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中居于环路。

 

找到十根环路

肯能从每个节点,到任意另另有一一六个其它的节点,全部都不 十根路径励志的话 ,没办法 图是连通的(connected)。对于另另有一一六个有向图来说,如果 的连通称为强连通(strongly connected)。肯能另另有一一六个有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,没办法 认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

肯能将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,如果 的图肯能是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间没办法 路径相连。

图的实现

一种生活简单的实现图的辦法 是使用二维数组。让数组a的每一行为另另有一一六个节点,该行的不同元素表示该节点与某些节点的连接关系。肯能[$(u, v) \in E$],没办法 a[u][v]记为1,如果 为0。比如下面的另另有一一六个含晒 另另有一一六个节点的图:

 

还需用简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

什儿 实现辦法 所居于的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而迅速增多。肯能边全部都不 很密集,没办法 如果 数组元素记为0,只能稀疏的某些数组元素记为1,如果 并全部都不 很经济。

更经济的实现辦法 是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,让我们歌词 歌词 让我们歌词 歌词 建立另另有一一六个链表。对于任意节点k,肯能有[$(m, k) \in E$],就将该节点倒进到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准辦法 。比如下面的图,

 

还需用用如下的数据形态实现:

 

左侧为另另有一一六个数组,每个数组元素代表另另有一一六个节点,且指向另另有一一六个链表。该链表含晒 晒 该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表还需用分为两要素。邻接表所居于的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组要素储存节点信息,居于[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,居于[$|E|$]的空间,即边的总数。在某些复杂的哪几个的问题中,定点和边还肯能有某些的附加信息,让我们歌词 歌词 让我们歌词 歌词 还需用将哪几个附加信息储居于相应的节点肯能边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

顶端的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是一种生活很简单的数据形态。图的组织辦法 比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法复杂度。我将在事先 介绍某些图的经典算法。

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据形态”系列